Задача 35446

Темы:    [ Отношение порядка ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Человечество бессмертно и начинает свою историю от Адама и Евы; каждый человек - смертен. Докажите, что найдется бесконечная мужская цепочка, начинающаяся с Адама, в который каждый следующий человек - сын предыдущего.

Подсказка

Выстраивайте цепочку, начиная с Адама, выбирая из сыновей того, у которого бесконечное число потомков мужского пола.

Решение

Рассмотрим всех мужчин, которые когда-либо жили в истории человечества. Их бесконечно много, так как человечество бессмертно, и все они - потомки Адама. Рассмотрим сыновей Адама (их конечное число), назовем их A₁, A₂, ... , A_n. Среди них найдется человек A_i, у которого бесконечно много потомков мужского пола (если бы у каждого было конечное число потомков, то было бы конечным число потомков Адама). Итак, у A_i бесконечно много потомков-мужчин. Рассмотрим сыновей A_i, назовем их B₁, B₂, ... , B_m. Среди них найдется человек B_j, у которого бесконечно много потомков мужского пола (если бы у каждого было конечное число потомков, то было бы конечным число потомков A_i). Рассуждаем так и далее, каждый раз выбирая из сыновей сына, имеющего бесконечное число потомков-мужчин. Таким образом, индуктивно строим искомую цепочку.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача