|
|
 |
Условие
На столе лежат монеты без наложений. Докажите, что одну из них можно выдвинуть, не задевая остальных.
Подсказка
Выдвигайте монету c наиболее удаленным относительно некоторого направления центром.
Решение
Введём некоторую прямоугольную систему координат на плоскости. Рассмотрим монету, центр которой имеет наибольшую ординату. Обозначим через C и r её центр и радиус. Докажем, что эту монету можно выдвинуть вверх, не задевая оставшихся.
Предположим противное – в полосе, которую заметает монета при движении вверх, нашлась точка А, принадлежащая другой монете с центром С' и радиусом r'. Проведём через С горизонтальную прямую m и обозначим через А' проекцию точки А на m. Согласно выбору точки С, точка С' находится не выше прямой m. Поэтому С'A' < C'A < r'. Отсюда следует, что точка A' принадлежит как первой монете, так и второй, а это противоречит условию.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
