Условие
Пусть f - непрерывная функция, определенная на отрезке [0;1]
такая, что f(0)=f(1)=0.
Докажите, что на отрезке [0;1] найдутся 2 точки на расстоянии 0,1,
в которых функция f(x) принимает равные значения.
Подсказка
Рассмотрите разность функции и ее сдвига вдоль оси Ox на 0,1.
Решение
Рассмотрим максимальное из значений модуля функции в точках 0; 0,1; 0,2; ... ; 0,9; 1. Пусть оно
достигается в точке m=k/10. Возможны три случая: f(m)=0, f(m)>0 и f(m)<0. В первом
из них функция равна нулю во всех указанных выше точках, и утверждение задачи выполнено.
Оставшиеся два случая идентичны, разберем первый из них. Нам известно: m отлично
от 0 и 1, f(m-0,1)<=f(m)>=f(m+0,1). Рассмотрим функцию g(x)=f(x+0,1)-f(x). Она непрерывна и
g(m-0,1)>=0, g(m)<=0. По теореме о промежуточном значении существует число x, лежащее
между m-0,1 и m, такое что g(x)=0. Получаем, что f(x)=f(x+0,1), и требуемое число найдено.
Источники и прецеденты использования
