Информация о задаче

Задача 35576

Тема:

[

Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон

]

Сложность: 2+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Треугольник имеет площадь, равную 1. Докажите, что длина его средней по длине стороны не меньше, чем $\sqrt {2}$ .

Подсказка

Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух его сторон.

Решение

Обозначим стороны треугольника через a, b, c, так что a - наибольшая сторона, а c - наименьшая сторона. По формуле площади площадь S треугольника равна $bc\sin \alpha /2$ , где $\alpha$ - угол между сторонами b и c. Таким образом, $S \le bc/2 \le b^2/2$ . Итак, квадрат средней по длине стороны b не меньше 2S=2, поэтому b не меньше $\sqrt {2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
задача