Задача 35611

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Имеются 100 бесконечных геометрических прогрессий, каждая из которых состоит из натуральных чисел.
Всегда ли можно указать натуральное число, которое не содержится ни в одной из этих прогрессий?

Подсказка

Покажите, что каждая из прогрессий содержит не более одного простого числа.

Решение

  Пусть q – знаменатель прогрессии a₁, a₂, ..., где все a_i – натуральные числа. Тогда  q = ^a₂/_a1  – число рациональное. Пусть q – нецелое, то есть  q = ^k/_m,  где числа k и m – взаимно просты и  m > 1.  Тогда можно найти такую степень t, что a₁ не делится на m^t. При этом число  a_t+1 = a₁k^tm^–t  не является целым. Это противоречие показывает, что q – натуральное число.
  Теперь понятно, что в каждой геометрической прогрессии никакой член, на исключением первого, не может быть простым числом. Таким образом, 100 геометрических прогрессий могут покрыть не более 100 простых чисел из натурального ряда. Поскольку простых чисел бесконечно много, какое-то простое число не принадлежит ни одной из прогрессий.

Ответ

Всегда.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача