Задача 35620

Темы:    [ Площадь (прочее) ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

На плоскости дана прямая m и два многоугольника - M₁ и M₂. Известно, что любая прямая, параллельная прямой m, пересекает эти многоугольники по отрезкам равной длины. Докажите, что площади многоугольников M₁ и M₂ равны.

Подсказка

Разбейте многоугольники на трапеции прямыми, параллельными прямой m. Доказывайте утверждение задачи отдельно для каждой трапеции.

Решение

Проведем прямую, параллельную m, через каждую вершину многоугольников M₁ и M₂. Эти прямые разобьют многоугольники M₁ и M₂ на несколько трапеций (две крайние трапеции могут выродиться в треугольники). Рассмотрим две трапеции, соответствующие многоугольникам M₁ и M₂, заключенных между соседними параллельными прямыми. В этих трапециях равны соответствующие основания (как отрезки прямых, параллельных m, пересекающие многоугольники M₁ и M₂) и высоты. Отсюда следует, что их площади равны. Таким образом, наши многоугольники M₁ и M₂ составлены из трапеций, имеющих соответственно равные площади. Это означает, что площади многоугольников M₁ и M₂ равны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача