Задача 35713

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что число    делится на 2^k и не делится на 2^k+1.

Подсказка

Покажите, что N_k+1 по сравнению с N_k делится еще на одну степень двойки.

Решение

  Докажем утверждение индукцией по k. База  (k = 1)  очевидна.
  Шаг индукции.     Таким образом, число N_k+1 получается из N_k домножением на 2 и на нечётное число, поэтому по предположению индукции оно делится на на 2^k+1 и не делится на 2^k+2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	3
Название	Мультипликативные функции
Тема	Неопределено
задача
Номер	03.079