Задача 35728

Темы:    [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Уравнение плоскости ] [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что в пространстве найдётся гладкая кривая, которая пересекается с каждой плоскостью.

Подсказка

График многочлена нечётной степени на плоскости пересекается с любой прямой. Ищите нужную кривую в параметрическом виде.

Решение

Зададим кривую в параметрической форме:  x = t,  y = t³,  z = t⁵,  где t пробегает все действительные числа. Пусть  Ax + By + Cz + D = 0  – уравнение некоторой плоскости (здесь не все числа A, B, C одновременно равны нулю). Точка кривой, отвечающая параметру t, лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда
At + Bt³ + Ct⁵ + D = 0.  Мы имеем уравнение пятой, третьей или первой степени относительно t (в зависимости от равенства нулю коэффициентов). Многочлен нечётной степени всегда имеет корень. Поэтому хотя бы одна точка пересечения кривой с плоскостью существует.

Замечания

Ср. с задачей 79560.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача