Задача 35735

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

Решение

  Для чисел 3⁰, 3¹, 3² и 3³ это верно. Поэтому достаточно проверить, что  3^4n+r – 3^r  делится на 20 при любом натуральном n и  r = 0, 1, 2, 3.
  Но  3^4n+r – 3^r = 3^r(81ⁿ – 1)  делится даже на  81 – 1 = 80.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача