Задача 35736

Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Четырехугольники (построения) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AC и дугой BC некоторой окружности. Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам её площадь.

Подсказка

Проведите искомую прямую через середину дуги.

Решение

Пусть A – вершина угла, B и C – концы дуги, D – её середина. Сегменты, опирающиеся на хорды BD и DC, равны. Поэтому достаточно провести через точку D прямую, которая делит пополам площадь четырёхугольника ABDC. Проведём через середину K диагонали BC прямую l, параллельную AC. Пусть, для определенности, l пересекает отрезок AB в точке E (случай пересечения l с отрезком AC рассматривается аналогично). Прямая DE искомая. Действительно,  S_AEDC = S_ADC + S_AED = S_ADC + S_AKD = S_AKDC = ½ S_ABDC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача