Задача 35770

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Укажите такое шестизначное число N, состоящее из различных цифр, что числа 2N, 3N, 4N, 5N, 6N отличаются от него перестановкой цифр.

Подсказка

Рассмотрите период дроби ¹/₇.

Решение

Возьмём  N = 142857.  Непосредственная проверка показывает, что  2N = 285714,  3N = 428571,  4N = 571428,  5N = 714285,  6N = 857142.

Ответ

N = 142857.

Замечания

Идеология.  ¹/₇ = 0,(142857).  Заметим, что при делении в столбик 1 на 7 встречаются все остатки от 1 до 6 (поэтому в периоде 6 знаков). Значит, при делении в столбик 2 на 7 возникнут также все остатки от деления на 7 в том же циклическом порядке, а в периоде дроби ²/₇ возникнет циклическая перестановка числа 142857. Аналогично, с делением 3 на 7, 4 на 7, и т.д.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача