Задача 35772

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Условие

В пространстве дана плоскость П и точки A и B по одну сторону от П (AB не параллельно П). Рассматриваются сферы, проходящие через точки A и B, касающиеся плоскости П. Докажите, что точки касания этих сфер и плоскости П лежат на одной окружности.

Подсказка

Квадрат длины касательной равен произведению длин отрезков секущих.

Решение

Пусть M - точка пересечения прямой AB и плоскости П, а T - точка касания некоторой сферы, проходящей через A, B, и плоскости П. Тогда согласно известной теореме о квадрате длины касательной получаем: MT²=MA*MB. Мы видим тем самым, что длина отрезка MT постоянна и равна (MA*MB)^1/2. Таким образом, все точки T лежат на окружности с центром M и радиусом R=(MA*MB)^1/2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача