Условие
Внутри круглого блина радиуса 10 запекли монету
радиуса 1. Каким наименьшим числом прямолинейных
разрезов можно наверняка задеть монету?
Подсказка
Построим на блине сферу как на диаметральной плоскости и переформулируйте
исходную задачу в задачу о покрытии сферы!!
Решение
Каждому прямолинейному разрезу соответствует
полоса шириной 2, отвечающая множеству возможных
центров монеты, задетой этим разрезом.
поэтому данная задача эквивалентна следующей:
найти минимальное число полос ширины 2, покрывающих
круг радиуса 10.
Ясно, что десять полос будет достаточно.
Покажем, что меньшим числом не обойтись.
Построим на блине сферу как на диаметральной плоскости.
К прямым, ограничивающим полосу, восставим перпендикулярные
плоскости - получим слой между параллельными плоскостями
шириной 2.
Получена еще одна переформулировка исходной задачи -
как покрыть сферу радиуса 10 минимальным числом слоев
ширины 2? Используем замечательное свойство сферы -
площадь сферы, заключенная между параллельными плоскостями,
пересекающими сферу, зависит только от расстояния между
этими плоскостями. (Докажите это замечательное свойство!)
Отсюда следует, что слой ширины 2 покрывает не более
1/10 площади сферы радиуса 10.
В применении к исходной задаче мы доказали, что меньше, чем
10 разрезами наверняка задеть монету не удастся.
Ответ
10.00
Источники и прецеденты использования
