|
|
 |
Условие
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, ∠AMB = 60°. На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL. Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках P и Q. Докажите, что PK = LQ.
Решение
Пусть О — центр окружности, описанной около ABCD (см. рис. а, б). Тогда доказываемое равенство равносильно совпадению середин отрезков PQ и KL, что, в свою очередь, равносильно равенству OK = OL. Последнее равенство можно доказать различными способами.
Первый способ. Проведем отрезки MK и ML (см. рис. а). Так как ∠AMD = 120°, ∠AKD = 60°, то точки A, M, D и K лежат на одной окружности. Аналогично, точки B, М, C и L также лежат на одной окружности. Следовательно, ∠AMK = ∠ADK = 60° и ∠СML = ∠CBL = 60°. Значит, ∠AMK = ∠СML, то есть, точки K, M и L лежат на одной прямой.
Используя свойство углов, вписанных в окружность, получим, что ∠AKM =∠ADM = ∠BСM = ∠BLM. С другой стороны, ∠AKO = ∠BLO = 30°. Следовательно, ∠LKO = ∠KLO, то есть ОK = ОL.
Второй способ. Вычислим |OK| и |OL|.
Пусть радиус окружности, описанной около АВСD равен R, величина ее дуги BC
(не содержащей точек A и D) равна 2α,
величина ее дуги AD (не содержащей точек B и C) равна 2β.
Обозначим (OL) ∩ (BC) = T (см. рис. 9.5б). Тогда ∠BLT = α,
значит, |OL| = |OT| + |TL| = Rcosα +
Rsinα.
Аналогично, |OK| = Rcosβ +
Rsinβ.
Из условия задачи следует, что α + β = 120°,
тогда |OK| = Rcosβ +
Rsinβ = R(cos(120° — α)
+
sin(120° — α))
= R(
cosα +
sinα +
cosα +
sinα)
= Rcosα +
Rsinα = |OL|.
| Рис. а | Рис. б | Рис. в |
Третий способ. Пусть X и Y — точки пересечения прямых AK и DK с данной окружностью (см. рис. в). Для определенности, рассмотрим случай, когда точки X и Y лежат на этих отрезках (случай, когда X и Y лежат на их продолжениях — аналогичен).
Так как точка М распложена внутри данной окружности, а точка
K — вне этой окружности, то ∠AMD =
, а ∠AKD =
(угловые величины дуг отсчитываются против часовой стрелки). Так как ∠AMD + ∠AKD
= 180° и
,
то
,
то есть, |XY| = |BC|. Так как ∠DAX = ∠ADY,
то (DA) || (XY), поэтому, треугольник KXY — равносторонний.
Следовательно, степень точки K относительно окружности равна: |KD|·|KY| =
|AD|·|XY| = |AD|·|BC|.
Рассуждая аналогичным образом, получим, что степень точки L относительно этой же окружности также равна |AD|·|BC|. Так как О — центр этой окружности, то отсюда следует, что ОK = ОL.
