|
|
 |
Условие
Точки Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырёхугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.
Решение
Первый способ. Пусть отрезок EF пересекает AС в точке X, а BD – в точке Y. Проведём через вершины А и D прямые, параллельные EF, пересекающие прямую ВС в точках K и M соответственно (рис. а). По теореме Фалеса EK = EM. По теореме о пропорциональных отрезках
Второй способ. Проведём отрезки AY, CY, BX и DX (рис. б). Так как XF – медиана треугольника AXD, то SBXY = SCXY. Аналогично SBXY = SCXY. Значит,
| Рис. а | Рис. б | Рис. в | Рис. г |
Третий способ. Если стороны ВС и AD параллельны, то АВСD – трапеция, отрезок EF проходит через точку пересечения её диагоналей и утверждение очевидно.
Пусть прямые ВС и AD пересекаются в точке K,
прямые AС и EF – в точке X, прямые BD и EF – в точке Y (рис. в). По теореме Менелая для треугольника KAC и прямой EF Аналогично, для треугольника KBD и прямой EF:
Следовательно,
Четвёртый способ. Назовём прямую, проходящую через середины противолежащих сторон четырёхугольника, его средней линией.
Рассмотрим геометрическое место таких точек D', что прямая EF содержит среднюю линию четырёхугольника ABCD'. Этим ГМТ является прямая l – образ прямой EF при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 (рис. г). Так как l || EF, то для любой точки D' ∈ l отрезки BD и BD' делятся прямой EF в одном и том же отношении.
Так как у четырёхугольников ABCD и ABCD' диагональ AС и
прямая, содержащая среднюю линию, – общие, а диагонали BD и BD' делятся прямой EF в одном и том же отношении, то утверждение задачи достаточно доказать хотя бы для одного из четырёхугольников ABCD'. Но это утверждение очевидно для случая, когда AD' || BC, то есть когда ABCD' – трапеция.
