Задача 52343

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В большей из двух концентрических окружностей проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшей окружности. Найдите радиус каждой из окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8.

Подсказка

Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Решение

Пусть O — центр окружностей, AB — данная хорда большей окружности, M — её точка касания с меньшей окружностью, r — радиус меньшей окружности. Тогда M — середина AB (т.к. OM AB).

Первый способ.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMO:

OA² = OM² + MA², или (r + 8)² = r² + 16².

Из этого уравнения находим, что r = 12.

Второй способ.

Проведём диаметр CD, содержащий точку M (M между C и O). Тогда

CM ^. MD = AM ^. MB, или 8(2r + 8) = 16².

Из этого уравнения находим, что r = 12.

Ответ

12 и 20.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5