ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52345
Темы:    [ Теорема косинусов ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Кроме того, AB = 3, BC = 4, CD = 5 и AD = 2. Найдите AC.


Подсказка

Примените теорему косинусов и свойство вписанного четырёхугольника.


Решение

Обозначим угол $ \angle$ABC = $ \alpha$. Тогда

AC2 = AB2 + BC2 - 2AB . BC cos$\displaystyle \alpha$ = AD2 + CD2 - 2AD . CD cos(180o - $\displaystyle \alpha$),

или

9 + 16 - 2 . 3 . 4 cos$\displaystyle \alpha$ = 4 + 25 + 2 . 2 . 5 cos$\displaystyle \alpha$.

Из этого уравнения находим, что cos$ \alpha$ = - $ {\frac{1}{11}}$. Следовательно,

AC2 = 9 + 16 + 2 . 3 . 4 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{11}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{299}{11}}$.


Ответ

$ \sqrt{\frac{299}{11}}$.


© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .