Задача 52346

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы.

Решение

Первый способ. Пусть M – середина катета AC прямоугольного треугольника ABC, Q – точка пересечения серединного перпендикуляра к катету BC с гипотенузой AB. По теореме Фалеса Q – середина гипотенузы AB, то есть  QA = QB.  Аналогично  QC = QA.  Следовательно, Q – центр описанной окружности треугольника ABC.

Второй способ. Вписанный угол измеряется половиной угловой величины дуги, на которую он опирается. Поэтому прямой вписанный угол опирается на диаметр.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8