Задача 52347

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Около трапеции ABCD описана окружность радиуса 6. Центр этой окружности лежит на основании AD,  BC = 4.  Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Проведите диагональ трапеции.

Решение

  Пусть K – основание перпендикуляра, опущенного из вершины C на AD. Найдём CK.
  Первый способ.  CK² = AK·KD = ½ (AD + BC) · ½ (AD – BC) = 8·4 = 32.
  Второй способ.  CK² = OC² – OK² = 6² – (OD – ½ BC)² = 6² – 2² = 32.

  S_ABCD = ½ (AD + BC)CK = 32.

Ответ

32.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9