Задача 52357

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Признаки подобия ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
  а) треугольник AA₁C подобен треугольнику BB₁C;
  б) треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C.
  в) Найдите коэффициент подобия треугольников A₁B₁C и ABC, если  ∠C = γ.

Подсказка

Постройте на стороне AB как на диаметре окружность.

Решение

  а) Прямоугольные треугольники AA₁C и BB₁C подобны по двум углам.
  б) Первый способ. Отрезок AB виден из точек A₁ и B₁ под прямым углом. Поэтому точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром AB. Пусть  ∠ACB < 90°.  Тогда  ∠B = ∠CB₁A₁.  Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C подобны по двум углам.
  Аналогично рассматривается случай  ∠C > 90°.
  Второй способ. CA₁ = CA |cos γ|,  CB₁ = CB |cos γ|.  Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C подобны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ

в) |cos γ|.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	19