Задача 52368

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC , AOC = 60^o . Найдите угол AMC , где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение

Если точки O и B лежат по разные стороны от прямой AC (рис.1), то градусная мера дуги AC , не содержащей точки B , равна 360^o-60^o=300^o , поэтому

ABC = · 300^o= 150^o.
Сумма углов при вершинах A и C треугольника ABC равна 180^o-150^o = 30^o , а т.к. AM и CM — биссектрисы треугольника ABC , то сумма углов при вершинах A и C треугольника AMC равна 15^o . Следовательно,
AMC = 180^o - 15^o = 165^o.
Если же точки O и B лежат по одну сторону от прямой AC (рис.2), то аналогично получим, что AMC = 105^o .

Ответ

165^o или 105^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	30