Информация о задаче

Задача 52369

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, равен 1. Известно, что на этой окружности лежит центр другой окружности, проходящей через вершины A, C и точку пересечения высот треугольника ABC. Найдите AC.

Подсказка

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, O — центр второй окружности. Тогда $\angle$ AHC = 180^o - $\angle$ B, $\angle$ AOC = 2 $\angle$ B.

Решение

Если H — точка пересечения высот треугольника ABC, то $\angle$ AHC = 180^o - $\angle$ ABC. Тогда

$\displaystyle \angle$ AOC = $\displaystyle \cup$ AHC = 360^o - 2 $\displaystyle \angle$ AHC = 2 $\displaystyle \angle$ ABC,

где O — центр второй окружности.

Поскольку $\angle$ AOC + $\angle$ ABC = 180^o, то 3 $\angle$ ABC = 180^o. Следовательно, $\angle$ ABC = 60^o. Тогда

AC = 2R sin $\displaystyle \angle$ ABC = 2^.1^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

$\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	31