Задача 52382

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC, угол A равен 45^o, угол D равен 60^o. На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках M и N. Хорда MN пересекает основание AD в точке E. Найдите отношение AE : ED.

Подсказка

Основания высот трапеции, опущенных из вершин B и C, лежат на указанных окружностях.

Решение

Пусть окружность с диаметром BD пересекает основание AD трапеции ABCD в точке Q, а окружность с диаметром AC — в точке P. Тогда CP и BQ — высоты трапеции.

Обозначим CP = BQ = h. Тогда DP = , AQ = h. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

DE ^. EQ = NE ^. EM = AE ^. EP, или  + PEEQ = (h + QE)PE.

Отсюда находим, что PE = . Следовательно,

= = = .

Условие AD = 2BC — лишнее.

Пусть окружность с диаметром BD пересекает основание AD трапеции ABCD в точке Q, а окружность с диаметром AC — в точке P. Тогда CP и BQ — высоты трапеции.

Обозначим CP = BQ = h. Тогда DP = , AQ = h. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

DE ^. EQ = NE ^. EM = AE ^. EP, или  + PEEQ = (h + QE)PE.

Отсюда находим, что PE = . Следовательно,

= = = .

Условие AD = 2BC — лишнее.

Пусть окружность с диаметром BD пересекает основание AD трапеции ABCD в точке Q, а окружность с диаметром AC — в точке P. Тогда CP и BQ — высоты трапеции.

Обозначим CP = BQ = h. Тогда DP = , AQ = h. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд

DE ^. EQ = NE ^. EM = AE ^. EP, или  + PEEQ = (h + QE)PE.

Отсюда находим, что PE = . Следовательно,

= = = .

Условие AD = 2BC — лишнее.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	44