Информация о задаче

Задача 52384

Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
Темы:	[	Проекции оснований, сторон или вершин трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Трапеция с высотой h вписана в окружность. Боковая сторона трапеции видна из центра окружности под углом 120^o. Найдите среднюю линию трапеции.

Подсказка

Проведите через вершину меньшего основания трапеции прямую, параллельную одной из диагоналей, или воспользуйтесь тем, что проекция диагонали равнобедренной трапеции на большее основание равна средней линии трапеции.

Решение

Первый способ.

Пусть O — центр окружности, описанной около трапеции ABCD с основаниями AD > BC. Поскольку трапеция равнобедренная, то

AC = BD, $\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ BDA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BOA = 60^o.

Через вершину C проведём прямую, параллельную BD, до пересечения с продолжением AD в точке K. Тогда ACK — равносторонний треугольник,

AK = 2h cos 60^o = $\displaystyle {\frac{2h}{\sqrt{3}}}$ .

Следовательно, средняя линия трапеции ABCD равна

$\displaystyle {\frac{AD + BC}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{AD + DK}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AK = $\displaystyle {\frac{h}{\sqrt{3}}}$ .

Второй способ.

$\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ BDA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BOA = 60^o.

Пусть CK — высота трапеции, тогда

AK = hctg60^o = $\displaystyle {\frac{h}{\sqrt{3}}}$ ,

но AK равно средней линия трапеции ABCD.

Ответ

${\frac{h}{\sqrt{3}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	46