Задача 52385

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы:  ∠DAB = α,  ∠ABC = β,  ∠BKC = γ,  где K – точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.

Подсказка

Выразите углы треугольника AKB через α, β, γ и искомый угол.

Решение 1

Пусть  ∠ABD = <∠ACD = φ.  Тогда  ∠CAD = ∠DBC = β – φ,  ∠BAC = ∠BAD – ∠CAD = α – (β – φ),  γ = ∠BKC = ∠BAC + ∠ABD = (α – β + φ) + φ = α – β + 2φ.  Следовательно,  φ = ½ (β + γ – α).

Решение 2

2α = ⌣BCD = ⌣BC + ⌣CD,  2β = ⌣ADC = ⌣AD + ⌣C,  2γ = ⌣AD + ⌣BC.  Отсюда ⌣AD = ½ (2β + 2γ – 2α) = β + γ – α,  а  ∠ACD = ½ ⌣AD.

Ответ

½ (β + γ – α).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	47