Информация о задаче

Задача 52393

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол B равен 60^o, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.

Подсказка

Найдите угол EOD.

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ EOD = $\displaystyle \angle$ AOC = 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ BAC + $\displaystyle \angle$ BCA) =

= 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.120^o = 120^o,

то точки B, E, O и D лежат на одной окружности. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому BO — биссектриса угла DBE. Значит, точка O — середина дуги DOE. Следовательно, OD = OE.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	55


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	4
Название	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	02.033


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1979
выпуск
Номер	10
Задача
Номер	М586