ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 52395
УсловиеДокажите, что отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
ПодсказкаПусть вневписанная окружность касается стороны AB треугольника ABC. Точки A, B и центры O1 и O2 вписанной и вневписанной окружностей лежат на окружности с центром в середине отрезка O1O2.
РешениеПусть вневписанная окружность касается стороны AB треугольника ABC;
C = , CAB = , CBA = ;
O1, O2 — центры вписанной и вневписанной
окружностей соответственно, M — середина
O1O2.
Поскольку отрезок O1O2 виден из точек A и B под прямым углом, то M — центр окружности, описанной около четырёхугольника AO1BO2. Тогда
AO2B = AO2O1 + BO2O1 = O1BA + O1AB = + = 90o - ,
AMB = 2AO2B = 180o - .
Следовательно, точки A, C, B и M лежат на одной окружности,
т.е. на окружности, описанной около треугольника ABC.
ЗамечанияИсточники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|