Информация о задаче

Задача 52400

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E, лежащей на стороне CD. Известно, что ${\frac{CD}{BC}}$ = m. Найдите:

1) отношение расстояний от точки E до прямых AD и BC;

2) отношение площадей треугольников ADE и BCE.

Подсказка

Докажите, что DC = AD + BC.

Решение

Докажем, что DC = AD + BC. Пусть $\angle$ A = 2 $\alpha$ , $\angle$ B = 2 $\beta$ , и $\alpha$ > $\beta$ . На отрезке DC выбрем такую точку M, для которой $\angle$ DAM = $\beta$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ AMD = 180^o - $\displaystyle \angle$ DAM - $\displaystyle \angle$ ADC =

= 180^o - $\displaystyle \angle$ DAM - (180^o - $\displaystyle \angle$ ABC) =

= 180^o - $\displaystyle \beta$ - (180^o - 2 $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle \beta$ .

Поэтому треугольник ADM — равнобедренный, AD = DM, а $\angle$ AMC = 180^o - $\beta$ . Значит, точки A, M, E, B лежат на одной окружности.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ MBE = $\displaystyle \angle$ MAE = $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ ,

$\displaystyle \angle$ MBC = $\displaystyle \angle$ MBE + $\displaystyle \angle$ CBE = ( $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ ) + $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \alpha$ .

Тогда

$\displaystyle \angle$ BMC = 180^o - $\displaystyle \angle$ MBC - $\displaystyle \angle$ BCD = 180^o - $\displaystyle \alpha$ - (180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ) = $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому треугольник BMC — также равнобедренный, BC = MC. Следовательно, AD + BC = DM + MC = DC.

Пусть теперь P, Q и F — проекции точки E на прямые AD, AB и BC соответственно. Поскольку лучи AE и BE — биссектрисы углов DAE и ABC, то EP = EQ = EF. Следовательно, ${\frac{EP}{EF}}$ = 1.

Поскольку AD + BC = DC и ${\frac{DC}{BC}}$ = m, то ${\frac{AD}{BC}}$ = m - 1. Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta BCE}}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{BC}}$ = m - 1.

Ответ

1) 1; 2)m - 1.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	62