Задача 52409

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В окружность вписан четырёхугольник ABCD. На дуге AD, не содержащей вершин B и C, взята точка K. Точки P, Q, M и N являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки K соответственно на стороны AD, BC, AB и CD (или на продолжения этих сторон). Известно, что  KP = d,  а
S_NQK = mS_MPK.  Найдите KN.

Решение

Точки D и Q лежат на окружности с диаметром CK, а точки M и P – на окружности с диаметром AK. Значит,
∠MKP = 180° – ∠MAP = ∠BAD = 180° – ∠BCD = ∠DSQ,  а  ∠PMK = ∠PAK = ∠DAK = ∠DCK = ∠DQK.  Следовательно треугольники MKP и QKD подобны. Коэффициент подобия равен  

Ответ

d .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	71