Информация о задаче

Задача 52410

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин B и C, пересекают диагонали AC и BD в точках E и F соответственно. Найдите EF, если BC = 1.

Подсказка

Докажите, что BCFE — параллелограмм.

Решение

Первый способ.

Обозначим $\angle$ CBD = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ BEC = 90^o - $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ DBE = $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно, BE = BC.

Обозначим $\angle$ ACB = $\beta$ . Аналогично докажем, что $\angle$ ACF = $\beta$ . Поэтому CF = BC. Значит, BE = CF, а т.к. BE || CF (перпендикуляры к одной и той же прямой AD), то BCFE — паралеллограмм (даже ромб). Следовательно, EF = BC = 1.

Второй способ.

Пусть Q — точка пересечения диагоналей. Заметим, что E — точка пересечения высот треугольника ABD. По известному свойству ортоцентра треугольника EQ = QC. Аналогично FQ = QB. Поскольку диагонали четырёхугольника BCFE перпендикулярны и делятся точкой пересечения Q пополам, то BCFE — ромб. Следовательно, EF = BC = 1.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	72