Информация о задаче

Задача 52412

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 4, AC = 8. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Через точки A, D и C проведена окружность, пересекающая сторону BC в точке E. Найдите площадь треугольника ADE.

Подсказка

Треугольник ADE — равнобедренный, sin $\angle$ ADE = sin $\angle$ ACB.

Решение

По свойству биссектрисы треугольника ${\frac{AD}{DB}}$ = ${\frac{AC}{BC}}$ = ${\frac{2}{1}}$ . Тогда DE = AD = 4.

Поскольку четырёхугольник ADEC — вписанный, то sin $\angle$ ADE = sin $\angle$ ACB. По теореме косинусов

cos $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\frac{AC^{2} + BC^{2} - AB^{2}}{2AC\cdot BC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{16}}$ .

Тогда sin $\angle$ ACB = ${\frac{3\sqrt{15}}{16}}$ . Следовательно,

S_ADE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.DE sin $\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.DE sin $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{15}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{3\sqrt{15}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	74