Задача 52419

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах AC и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ACA₁A₂ и BCB₁B₂.
Докажите, что прямые A₁B, A₂B₂ и AB₁ пересекаются в одной точке.

Подсказка

Опишите окружности около квадратов и рассмотрите точку пересечения этих окружностей, отличную от C.

Решение

  Опишем окружности около этих квадратов. Пусть M — общая точка этих окружностей, отличная от C. Тогда  ∠CMB₁ = ∠CB₂B₁ = 45°,
∠CMA = 180° – ∠CA₂A = 135°.  Следовательно, прямая AB₁ проходит через точку M.
  Аналогично для прямых A₂B₂ и AB₁.

Замечания

На рисунке изображен случай, когда угол C острый. В случае, когда угол C тупой, рисунок другой, но, как легко убедиться, все участвующие в решении углы не меняются. В случае, когда угол C прямой, точки M не существует, а три указанные прямые пересекаются в точке C.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	81