Задача 52420

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вспомогательная окружность ] [ Точка Торричелли ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На сторонах произвольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC₁, A₁BC и AB₁C.
Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Достаточно рассмотреть два случая:  1) все углы треугольника меньше 120° (рис. слева);  2)  ∠A > 120°  (рис. справа). Если  ∠A = 120°,  три указанные прямые пересекаются в точке A.

  При повороте на угол 60° вокруг вершины A, переводящем точку C₁ в B, точка C переходит в точку B₁. Следовательно, прямая C₁C переходит в прямую BB₁. Поэтому угол между этими прямыми равен 60°.
  Пусть Q – точка пересечения прямых BB₁ и CC₁. Отрезок C₁B виден из точек A и Q под углом 60°. Поэтому точка Q лежит на описанной окружности треугольника ABC₁.
  Аналогично докажем, что точка Q лежит на описанной окружности треугольника CAB₁. Поскольку  ∠BQC + ∠BA₁C = 120° + 60° = 180°,  точка Q лежит и на описанной окружности треугольника BCA₁. Поэтому  ∠AQB + ∠BQA₁ = ∠AQB + ∠BCA₁ = 180°  (в первом случае) или   ∠AQB = 60° = ∠A₁QB  (во втором случае). Значит, точки A₁, A и Q лежат на одной прямой. Итак, все три прямые AA1, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке Q.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	82
олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
Задача
Название	Задача 11.2