|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что
биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой,
проведёнными из вершины C, тогда и только тогда, когда
C = 90o.
Подсказка
Пусть H, Q, M — точки пересечения продолжений высоты, биссектрисы и медианы с описанной окружностью. Тогда HM || AB.
Решение
Пусть T — середина AB. Опишем окружность около треугольника ABC. Продолжения высоты, биссектрисы и медианы пересекают эту окружность в точках H, Q и M соответственно.
Поскольку дуги AH и MB равны, то
HM || AB. Поэтому
CHM = 90o и CM — диаметр окружности. Поскольку точки Q и T
равноудалены от концов отрезка AB, то QT — серединный
перпендикуляр к стороне AB, поэтому T — центр окружности.
Следовательно, AB — также диаметр.
Пусть угол C — прямой. Тогда CM — диаметр, угол CHM — прямой. Поэтому HM || AB. Отсюда следует, что
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 84 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 2 |
| Название | Вписанный угол |
| Тема | Вписанный угол |
| параграф | |
| Номер | 7 |
| Название | Биссектриса делит дугу пополам |
| Тема | Биссектриса делит дугу пополам |
| задача | |
| Номер | 02.065 |
