Задача 52432

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из точки A, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки A до точки касания равно 16, а расстояние от точки A до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите радиус окружности, если расстояние от её центра до секущей равно 5.

Решение

  Пусть секущая пересекает окружность в точках B и C, а M – точка касания. Тогда  AM = 16,  AC = 32,  BC = 32 – BA.  По теореме о касательной и секущей
AM² = AC·AB,  или  16² = 32(32 – BC).  Отсюда  BC = 24.
  Пусть K – проекция центра O данной окружности на хорду BC. Радиус окружности находим по теореме Пифагора:  R² = OB² = OK² + BK² = 169.

Ответ

13.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	94