Информация о задаче

Задача 52448

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Центр окружности, касающейся стороны BC треугольника ABC в точке B и проходящей через точку A, лежит на отрезке AC. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что BC = 6 и AC = 9.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть R — радиус окружности. Тогда

(AC - 2R)AC = BC².

Отсюда находим, что R = ${\frac{5}{2}}$ .

Пусть H — основание высоты, опущенной из точки A, O — центр окружности. Тогда ${\frac{AH}{OB}}$ = ${\frac{AC}{CO}}$ . Поэтому

AH = $\displaystyle {\frac{AC\cdot OB}{CO}}$ = $\displaystyle {\frac{AC\cdot R}{AC - R}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{45}{13}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AH = $\displaystyle {\textstyle\frac{135}{13}}$ .

Ответ

${\frac{135}{13}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	110