Задача 52450

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Построение окружностей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

Решение

Пусть A и B данные точки, M — точка пересечения прямой AB с данной прямой, K — искомая точка касания. По теореме о касательной и секущей MK = .
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим отрезок, равный среднему геометрическому известных отрезков MB и MA , и откладываем его по разные стороны от точки M на данной прямой. Пусть MP — один из таких отрезков. Опишем окружность около треугольника ABP . Докажем, что эта окружность — искомая. Действительно, по построению она проходит через точки A и B и, кроме того, MP2 = MA· MB . Если P1 — ещё одна общая точка данной прямой и построенной окружности, то

MP· (MP PP1) = MA· MB = MP2.
Поэтому точки P и P1 совпадают. Следовательно, окружность, проходящая через точки A , B и P , касается данной прямой. Аналогично для второго отрезка. Если точки A и B расположены по одну сторону от данной прямой и удалены от неё на разные расстояния, то задача имеет два решения, если на равные — одно решение. В остальных случаях решений нет.


Пусть A и B данные точки, l — данная прямая, K — искомая точка касания. Рассмотрим случай, когда на A , ни B не лежат на прямой l (рис.1).
При инверсии относительно произвольной окружности с центром A , прямая AB , проходящая через центр инверсии, перейдёт в себя, точка B перейдёт в точку B' , лежащую на этой прямой (рис.2), прямая l , не проходящая через центр инверсии, — в окружность l' , проходящую через центр инверсии, т.е. через точку A , а искомая окружность — в прямую, касающуюся окружности l' .
Заметим, что точку B' и окружность l' можно построить с помощью циркуля и линейки, т.к. можно построить образ любой точки при инверсии относительно любой окружности.
Если точка B' не лежит внутри окружности l' , то проведём через точку B' касательную к этой окружности. При рассматриваемой инверсии эта касательная перейдёт в окружность, проходящую через точки A и B и касающуюся прямой l .
Если точка B' лежит внутри окружности l' , задача не имеет решений. Если точка B' лежит на окружности l' , задача имеет единственное решение. Если точка B' лежит вне окружности l' , задача имеет ровно два решения.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	112