Задача 52453

Темы:    [ Окружности (построения) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Построение окружностей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через данную точку проведите окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности.

Решение

Предположим, что задача решена. Пусть Q — точка касания окружностей, A1 — точка касания построенной окружности и данной прямой, O — центр данной окружности, O1 — центр построенной окружности, M — данная точка, AP — диаметр данной окружности, перпендикулярный данной прямой, K — точка пересечения его продолжения с данной прямой, P лежит между A и K .
Заметим, что точки A , Q и A1 лежат на одной прямой. Из подобия прямоугольных треугольников AQP и AKA1 следует, что

AK· AP = AQ· AA1.
Пусть T — вторая точка пересечения прямой AM с построенной окружностью. Тогда
AQ· AA1 = AM· AT.
Поэтому
AK· AP =AM· AT.
Следовательно, точки P , K , M и T лежат на одной окружности.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружность, проходящую через точки M , K и P . Если прямая AM пересекает эту окружность в точке T , отличной от точки M , то задача сводится к построению окружности, проходящей через точки M и T и касающейся данной окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.


Пусть M — данная точка, l — данная прямая, S — данная окружность.
Предположим, что искомая окружность Ω построена (рис.2). При инверсии относительно произвольной окружности с центром M прямая l , не проходящая через центр инверсии, перейдёт в окружность l' , окружность S , не проходящая через центр инверсии, — в окружность S' , а окружность Ω , проходящая через центр инверсии, — в прямую Ω' , касающуюся окружностей l' и S' .
Отсюда вытекает следующее построение (рис.3). Строим образы l' и S' данных прямой l и окружности S при инверсии относительно некоторой окружности с центром в данной точке M , а затем проводим общие касательные к окружностям l' и S' . Образы этих касательных при той же инверсии есть искомые окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	115