Задача 52464

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Свойства инверсии ]

Сложность: 4 Классы: 8,9 Название задачи: Формула Эйлера.

Условие

Докажите формулу Эйлера: O1O22 = R2-2rR , где O1 , O2 — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника, r , R — радиусы этих окружностей.

Решение

Пусть B1 — точка пересечения биссектрисы треугольника ABC , проведённой из вершины B , с описанной окружностью (рис.1). Обозначим ABC = β , ACB = γ . По теореме о внешнем угле треугольника

B1O1C = O1BC + O1CB = +.
С другой стороны,
O1CB1 = O1CA+ B1CA = O1CA+ B1BA = +.
Значит, треугольник O1B1C — равнобедренный. По теореме об отрезках пересекающихся хорд
B1O1· O1B = (R + O1O2)(R - O1O2) = R2 - O1O22.
Пусть P — проекция точки O1 на сторону BC . Тогда O1P=r . Из прямоугольного треугольника BO1P находим, что
O1B = = ,
а т.к.
B1O1 = B1C = 2R sin B1BC = 2R sin ,
то
R2 - O1O22 = · 2R sin = 2rR.
Следовательно, O1O22 = R2 - 2rR .



Пусть вписанная окружность касается сторон AB , AC и BC треугольника ABC в точках C' , B' и A' соответственно (рис.2). При инверсии относительно окружности с центром O1 , вписанной в треугольник ABC , вписанная окружность останется на месте, прямые, содержащие стороны треугольника перейдут в окружности, проходящие через центр O1 инверсии и касающиеся окружности инверсии, поэтому вершины A , B и C перейдут в середины отрезков B'C' , A'C' и B'C' соответственно. Тогда окружность, с центром O2 , описанная около треугольника ABC , перейдёт в окружность с центром O радиуса , проходящую через середины сторон треугольника A'B'C' . Эта окружность гомотетична описанной окружности треугольника ABC , причём центр гомотетии совпадает с центром O1 инверсии, значит, точка O лежит на прямой O1O2 .
Пусть O1O2=d , XY — диаметр описанной окружности треугольника ABC , проходящий через точку O1 , а M и N — образы точек соответственно X и Y при рассматриваемой инверсии (рис.3). Тогда
MN=XY· = 2R· =,
а т.к. MN = r , то =r . Отсюда находим, что d2=R2-2rR .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	126