|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
Найдите AP² + BP² + CP² + DP² и AB² + BC² + CD² + AD².
Подсказка
Обозначьте ∠ADB = α и выразите стороны четырёхугольника через R и α (или проведите диаметр DE).
Решение 1
Обозначим ∠ADB = α, ∠BDC = β. Тогда AB = 2R sin α, BC = 2R sin β, CD = 2R cos α, AD = 2R cos β.
Следовательно,
AP² + BP² + CP² + DP² = AB² + DC² =
4R² sin²α + 4R² cos²α = 4R², AB² + BC² + CD² + AD² = 4R² + 4R² = 8R².
Решение 2
Проведём диаметр DE. Поскольку BD ⊥ BE и BD ⊥ AC, то BE || AC, поэтому CE = AB. По теореме Пифагора
AB² + CD² = CE² + CD² = DE² = 4R².
Аналогично BC² + AD² = 4R². Следовательно, AB² + BC² + CD² + AD² = 8R², AP² + BP² + CP² + DP² = AB² + DC² = 4R².
Ответ
4R², 8R².
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 131 |
