Задача 52471

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Найдите расстояние от точки O до стороны AB, если известно, что CD = 8.

Подсказка

Проведите диаметр DD₁.

Решение

Проведём диаметр DD₁. Пусть K и K₁ — проекции точки O на хорды AB и CD₁ соответственно. Поскольку BD₁ и AC перпендикулярны DB, то BD₁ параллельно AC. Поэтому D₁C = AB и OK₁ = OK.

Поскольку OK₁ — средняя линия прямоугольного треугольника DD₁C, то

OK = OK₁ = DC = 4.

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	133
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1979
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М582