Информация о задаче

Задача 52476

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и B и касаются прямой в точках C и D; N — точка пересечения прямых AB и CD (B между A и N). Найдите:

1) радиус окружности, описанной около треугольника ACD;

2) отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины N.

Подсказка

Обозначим $\angle$ ACN = $\alpha$ , $\angle$ ADN = $\beta$ . Тогда ${\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$ = $\sqrt{\frac{r}{R}}$ .

Решение

Обозначим $\angle$ ACN = $\alpha$ , $\angle$ ADN = $\beta$ . Тогда

AC = 2R sin $\displaystyle \alpha$ , AD = 2r sin $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle {\frac{AC}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin \alpha}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{2R\sin \alpha}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{2r\sin \beta}{\sin \alpha}}$ .

Отсюда находим, что ${\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$ = $\sqrt{\frac{r}{R}}$ .

Если R₁ — радиус окружности, описанной около треугольника ACD, то

R₁ = $\displaystyle {\frac{AC}{2\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{2R\sin \alpha}{2\sin \beta}}$ = R^. $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle \sqrt{rR}$ .

По теореме о касательной и секущей

CN² = NA^.NB, DN² = NA^.NB.

Поэтому CN = DN. Если h₁ и h₂ — высоты, о которых говорится в условии задачи, то

$\displaystyle {\frac{h_{1}}{h_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{CN\cdot \sin \alpha}{DN\cdot \sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{r}{R}}$ .

Ответ

$\sqrt{rR}$ , $\sqrt{\frac{r}{R}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	138