Информация о задаче

Задача 52483

Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки D, E и F так, что DE = BE, FE = CE. Докажите, что центр описанной около треугольника ADF окружности лежит на биссектрисе угла DEF.

Подсказка

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ADF. Докажите, что точки E, F, O и D лежат на одной окружности.

Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ADF. Обозначим углы треугольника ABC через $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ соответственно. Тогда

$\displaystyle \angle$ FED = 180^o - (180^o - 2 $\displaystyle \beta$ ) - (180^o - 2 $\displaystyle \gamma$ ) =

= 2( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ ) - 180^o = 180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ > 0.

Поэтому $\alpha$ — острый угол, а точки E, F, O, D лежат на одной окружности. Тогда

$\displaystyle \angle$ FEO = $\displaystyle \angle$ FDO = $\displaystyle \angle$ DFO = $\displaystyle \angle$ OED.

Следовательно, EO — биссектриса угла DEF.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	146