Задача 52495

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через точку O внутри выпуклого четырёхугольника ABCD проведены четыре окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается двух смежных сторон четырёхугольника. Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Подсказка

Четырёхугольник с вершинами в центрах окружностей — вписанный.

Решение

Пусть A₁, B₁, C₁, D₁ — центры окружностей. Эти точки лежат на окружности с центром O и радиусом OA₁. Стороны четырёхугольника ABCD соответственно параллельны сторонам внутреннего четырёхугольника A₁B₁C₁D₁. Поэтому углы этих четырёхугольников соответственно равны.

Поскольку четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ — вписанный, то сумма его противоположных углов равна 180^o. Тогда сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD также равна 180^o. Следовательно, он вписанный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	158