Информация о задаче

Задача 52498

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектрисы BP и CT пересекаются в точке O. Известно, что точки A, P, O и T лежат на одной окружности. Найдите угол A.

Подсказка

$\angle$ TOP = 90^o + ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ A.

Решение

Заметим, что

$\displaystyle \angle$ POT = $\displaystyle \angle$ BOC = 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ B + $\displaystyle \angle$ C) = 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - $\displaystyle \angle$ A) = 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ A.

Поскольку четырёхугольник APOT вписанный, то

$\displaystyle \angle$ A + $\displaystyle \angle$ POT = 180^o.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ A + 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ A = 180^o.

Отсюда находим, что $\angle$ A = 60^o.

Ответ

60^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	161