Задача 52506

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.

Подсказка

Проведите окружность через середины сторон четырёхугольника и докажите, что она пересекает сторону в точке, являющейся проекцией точки пересечения диагоналей на эту сторону.

Решение

Пусть E — точка пересечения диагоналей AC и BD данного четырёхугольника ABCD, M — проекция точки E на сторону CD. Докажем, что точка K пересечения прямой ME со стороной AB есть середина стороны AB.

Действительно,

KEB = DEM = 90^o - BDC = 90^o - BAC = KBE.

Поэтому треугольник BKE — равнобедренный, KE = KB. Аналогично докажем, что KE = KA. Следовательно, K — середина AB.

Середины сторон данного четырёхугольника являются вершинами прямоугольника. Опишем окружность около этого прямоугольника. Тогда из точек пересечения этой окружности со сторонами данного четырёхугольника, отличных от середин сторон, диаметр проведённой окружности (диагональ прямоугольника) виден под прямым углом.

С другой стороны, по ранее доказанному, перпендикуляр, опущенный из середины стороны данного четырёхугольника на противоположную сторону, проходит через точку пересечения диагоналей.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	169