Информация о задаче

Задача 52539

Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан сектор, равный четверти круга радиуса R. Найдите длину касательной, проведённой в середине его дуги до пересечения с продолжением крайних радиусов сектора.

Подсказка

Пусть O — центр окружности, M — точка касания. Докажите, что луч OM образует углы в 45^o с радиусами, ограничивающими данный сектор.

Решение

Пусть O — центр окружности, лучи OA и OB образуют прямой угол и пересекаются с данной касательной в точках A и B, M — точка касания. Тогда

$\displaystyle \angle$ MOB = $\displaystyle \angle$ MOA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ AOB = 45^o.

Поэтому

MB = MO = R, MA = MO = R.

Следовательно, AB = 2R.

Ответ

2R.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	204