Информация о задаче

Задача 52573

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

AB — диаметр окружности; C, D, E — точки на одной полуокружности ACDEB. На диаметре AB взяты: точка F так, что $\angle$ CFA = $\angle$ DFB, и точка G так, что $\angle$ DGA = $\angle$ EGB. Найдите $\angle$ FDG, если дуга AC равна 60^o, а дуга BE равна 20^o.

Подсказка

Обозначим через C₁ и E₁ точки пересечения лучей DF и DG с данной окружностью. Тогда $\cup$ AC₁ = $\cup$ AC и $\cup$ BE₁ = $\cup$ BE.

Решение

Обозначим через C₁ и E₁ точки пересечения лучей DF и DG с данной окружностью. Поскольку окружность симметрична относительно диаметра AB и

$\displaystyle \angle$ AFC₁ = $\displaystyle \angle$ DFB = $\displaystyle \angle$ AFC,

то точка C₁ симметрична точке C относительно AB. Поэтому $\cup$ AC₁ = $\cup$ AC. Аналогично $\cup$ BE₁ = $\cup$ BE. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ C₁DE₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ C₁E₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - 60^o - 20^o) = 50^o.

Ответ

50^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	238