Задача 52611

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC; стороны AD и BC пересекаются в точке M. Углы B и D равны по 40°. Расстояние между вершинами D и B равно стороне AB,  ∠AMC = 70°.  Найдите углы треугольников ABC и ADC.

Решение

  Поскольку отрезки AD и BC пересекаются, точки D и B лежат по одну сторону от прямой AC. Следовательно, точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Рассмотрим два случая.
  1) Точки идут в порядке A, D, B, C. Тогда AMC – внешний угол треугольника AMD,поэтому ∠DAB = ∠DAM = 30°. Но  ∠ADB > 40°.  Значит,  AB > DB,  что противоречит условию.
  2) Точки идут в порядке A, B, C, D (см. рис.). Тогда  ∠DMC = 30°,  ∠BCA = ∠BCD = ∠DCM = 30°.  Следовательно,  ∠DCA = 60°,  ∠BAC = 110°,  ∠DAC = 80°.

Ответ

 ∠BAC = 110°,  ∠BCA = 30°,  ∠DCA = 60°,  ∠DAC = 80°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	276