Информация о задаче

Задача 52676

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая. Радиус одной из окружностей равен 1. Известно, что один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен $\sqrt{3}$ . Найдите площадь параллелограмма.

Подсказка

Найдите отрезки, на которые точка касания одной из окружностей делит меньшую сторону параллелограмма.

Решение

Окружности равны. Расстояние между точками их касания с большей стороной параллелограмма равно сумме их радиусов, т.е. 2. Меньшая сторона параллелограмма видна из центра касающейся её окружности под прямым углом. Один из отрезков этой стороны от вершины до точки касания равен $\sqrt{3}$ , значит, второй равен ${\frac{1}{\sqrt{3}}}$ . Тогда большая сторона равна

2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ + $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ = 2 + $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{3}}}$ .

Следовательно, площадь параллелограмма равна

2 $\displaystyle \left(\vphantom{2 + \frac{4}{\sqrt{3}}}\right.$ 2 + $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{3}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{2 + \frac{4}{\sqrt{3}}}\right)$ .

Ответ

4 + ${\frac{8}{\sqrt{3}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	341